数列の収束における有界単調数列の使い方

$$ a_{n+1}>a_n, a_n>1 \Rightarrow {a_n} は下に有界な単調数列 $$

定理：有界単調数列は収束する 単調増加で，上に有界な数列${a_n}$が集合$A=\left\{a_1,a_2,......\right\} $の上限$\alpha$に収束することを示せば良い. $\forall\varepsilon>0$に対して$\alpha-\varepsilon$は$A$の上界ではない. $${n>N_0 \Rightarrow \alpha-\varepsilon<{a_n}<\alphaなるn_0が存在する}$$ このとき $$|a_n-\alpha|<\varepsilon$$ であるから，a_n$rightarrow\alpha$が示された．